牛頓的《原理》打開了自然數(shù)學(xué)研究的大門，歐洲大陸的同事們將牛頓關(guān)于自然規(guī)律的思想擴(kuò)展到了物理科學(xué)的大部分領(lǐng)域在波動(dòng)方程之后，其他許多重力方程相繼出現(xiàn)，如靜電方程，彈性方程，熱流方程等

1807年，傅立葉向法國(guó)科學(xué)院提交了一篇關(guān)于熱流的文章，文章基于一個(gè)新的偏微分方程:

這里假設(shè)金屬棒無限細(xì)，熱擴(kuò)散率α為常數(shù)，u為金屬棒在x位置和時(shí)間t的溫度所以應(yīng)該叫溫度方程

其中▽是拉普拉斯算子，

精確地

熱量方程和波動(dòng)方程有著不可思議的相似之處，但有一個(gè)關(guān)鍵的區(qū)別波動(dòng)方程使用二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)

u/t在熱方程中，它被一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)U/T所代替這個(gè)變化看似很小，但其物理意義是巨大的熱量不會(huì)像小提琴弦的振動(dòng)一樣無限持續(xù)相反，伴隨著時(shí)間的推移，熱量會(huì)消散，除非有熱源可以加熱所以一個(gè)典型的問題是:加熱一根棒的一端以保持其溫度穩(wěn)定，冷卻另一端以達(dá)到同樣的效果當(dāng)一根金屬棒的狀態(tài)穩(wěn)定后，溫度是如何沿棒變化的答案是指數(shù)下降

另一個(gè)問題是在確定沿金屬棒的初始溫度分布后，如何確定溫度隨時(shí)間的變化可能左半部分開始溫度較高，右半部分開始溫度較低這個(gè)等式告訴我們熱量是如何從熱的部分傳到冷的部分的

熱方程是線性的，所以我們可以疊加解。如果初始條件是

那么解決方法就是

但是像這樣的初始條件有點(diǎn)不真實(shí)為了解決我之前提到的問題，我們需要這樣一個(gè)初始條件，一半的金屬棒有u = 1，另一半有U = 1這個(gè)初始條件是不連續(xù)的，工程上稱為方波但是正弦和余弦曲線是連續(xù)的所以正弦和余弦曲線的疊加不能代表方波

但是，如果允許無限項(xiàng)重疊呢我們可以嘗試用無窮級(jí)數(shù)的形式來表示初始條件

現(xiàn)在看來確實(shí)有可能得到方波其實(shí)大部分系數(shù)都可以設(shè)為零，只需要奇數(shù)n的b_n項(xiàng)

如何從正弦和余弦得到方波左:正弦波分量右圖:它們的和是方波這里顯示了傅立葉級(jí)數(shù)的前幾項(xiàng)附加項(xiàng)使方波的近似更精確

傅立葉甚至給出了以積分形式表示一般條件F的系數(shù)a_n和b_n的通式，

經(jīng)過對(duì)三角函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開的長(zhǎng)期探索，他意識(shí)到有一種更簡(jiǎn)單的方法來推導(dǎo)這些公式如果取兩個(gè)不同的三角函數(shù)，相乘，然后從0到2π積分，結(jié)果是0但如果它們相等，假設(shè)它們都等于sin5x，那么它們乘積的積分就不為零假設(shè)f 是一個(gè)三角級(jí)數(shù)的和，所有項(xiàng)都乘以sin5x，然后積分，除了sin5x對(duì)應(yīng)的項(xiàng)，所有項(xiàng)都消失，即b_5sin5x這里的積分是π除以這個(gè)得到b5的傅立葉公式，其他系數(shù)都一樣

盡管獲得了諾貝爾獎(jiǎng)，傅立葉還是被嚴(yán)厲批評(píng)不夠嚴(yán)謹(jǐn)傅立葉被激怒了物理直覺告訴他，他是對(duì)的真正的問題是歐拉和伯努利為一個(gè)類似的波動(dòng)方程問題爭(zhēng)論了很久熱量隨時(shí)間的指數(shù)擴(kuò)散被無限正弦振幅所代替基本的數(shù)學(xué)問題是一樣的其實(shí)歐拉已經(jīng)發(fā)表了波動(dòng)方程中系數(shù)的積分公式

但歐拉從未聲稱這個(gè)公式適用于不連續(xù)函數(shù)，這是傅立葉研究中最有爭(zhēng)議的一點(diǎn)小提琴弦模型不包含不連續(xù)的初始條件但是對(duì)于熱，很自然地會(huì)考慮將金屬棒的一個(gè)區(qū)域保持在一個(gè)溫度，而相鄰的區(qū)域保持在另一個(gè)溫度在實(shí)際應(yīng)用中，過渡過程平滑陡峭，但不連續(xù)模型更合理，便于計(jì)算事實(shí)上，熱量方程的解解釋了為什么當(dāng)熱量傳播到兩側(cè)時(shí)，轉(zhuǎn)變會(huì)很快變得平滑和陡峭

數(shù)學(xué)家開始意識(shí)到無窮級(jí)數(shù)是一種危險(xiǎn)的野獸最后，這些復(fù)雜的問題被解決了1822年，傅立葉出版了他的著作《熱分析理論》

現(xiàn)在我們知道，盡管傅立葉是正確的，但他的批評(píng)者有充分的理由擔(dān)心它的嚴(yán)謹(jǐn)性傅立葉分析是好的，但是還是有一些問題

問題是，傅立葉級(jí)數(shù)什么時(shí)候收斂到它所代表的函數(shù)也就是如果取的項(xiàng)數(shù)越來越多，函數(shù)的逼近會(huì)不會(huì)更好甚至傅立葉也知道答案并不總是如此例如，在溫度躍變的中點(diǎn)，方波的傅立葉級(jí)數(shù)收斂——但它收斂到錯(cuò)誤的值0，但方波的值為1

對(duì)于大多數(shù)物理問題來說，改變一個(gè)孤立點(diǎn)上的函數(shù)值并沒有多大關(guān)系只是在間斷處略有不同對(duì)于傅立葉來說，這種問題并不重要但是收斂問題也不能這么輕視，因?yàn)楹瘮?shù)的不連續(xù)性可能比波的不連續(xù)性復(fù)雜得多

但傅立葉聲稱他的方法適用于任何函數(shù)，所以應(yīng)該適用于x為有理數(shù)時(shí)f = 0，x為無理數(shù)時(shí)f = 1這樣的函數(shù)這個(gè)函數(shù)到處都是不連續(xù)的對(duì)于這樣的函數(shù)，當(dāng)時(shí)積分的意義并不清楚這才是爭(zhēng)議的真正原因沒有人給積分下過定義甚至沒有人給函數(shù)下過定義即使你能填滿這些洞，也不僅僅是傅立葉級(jí)數(shù)是否收斂的問題真正的困難是要弄清楚它在什么意義上是收斂的

解決這些問題很棘手:

它需要一個(gè)新的積分理論，由亨利·勒貝格提出，

喬治·康托倡導(dǎo)的從集合論角度重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，

從黎曼這樣的杰出人物那里獲得了重要的見解，應(yīng)用20世紀(jì)的抽象概念解決了收斂問題。

最后的結(jié)論是，傅立葉通過正確的解釋，確實(shí)解出了熱方程但它的真正意義要廣泛得多除了純數(shù)學(xué)，主要受益的不是熱力學(xué)，而是工程，尤其是電子工程

在最一般的形式中，傅立葉方法表示一個(gè)信號(hào)，該信號(hào)由函數(shù)f確定這被稱為波的傅立葉變換它用頻譜代替了原始信號(hào):這是一組正弦和余弦的振幅和頻率，以不同的方式對(duì)相同的信息進(jìn)行編碼

這項(xiàng)技術(shù)的一個(gè)應(yīng)用是抗震建筑的設(shè)計(jì)典型地震產(chǎn)生的振動(dòng)的傅立葉變換揭示了地震的能量頻率建筑有自己的固有振動(dòng)模式，會(huì)和地震產(chǎn)生共振，也就是說反應(yīng)異常強(qiáng)烈因此，建筑抗震的第一步是保證建筑的優(yōu)先頻率與地震的優(yōu)先頻率不同地震的頻率可以通過觀察獲得，通過計(jì)算機(jī)模型可以計(jì)算出建筑物的頻率

這只是傅立葉變換幕后影響我們生活的諸多方面之一傅立葉變換已經(jīng)成為科學(xué)和工程中的常用工具它的應(yīng)用包括從錄音中去除噪音，x射線衍射被用來發(fā)現(xiàn)DNA等大生物化學(xué)分子的結(jié)構(gòu)改善無線電接收和處理從空中拍攝的照片在這里，我只關(guān)注成千上萬個(gè)日常應(yīng)用中的一個(gè):圖像處理

傅立葉變換在圖形處理中的應(yīng)用

答案是數(shù)據(jù)壓縮其中一些過程是無損的，這意味著如果需要，可以從壓縮版本中檢索原始信息這是必要的，因?yàn)榇蠖鄶?shù)真實(shí)世界的圖像包含冗余信息例如，大片的天空通常是同樣的藍(lán)色不需要一遍又一遍地重復(fù)藍(lán)色像素的顏色和亮度信息，就可以存儲(chǔ)一個(gè)矩形的兩個(gè)對(duì)角的坐標(biāo)和幾行簡(jiǎn)短的代碼

它對(duì)人眼圖像的某些特征并不特別敏感，但這些特征可以在較粗糙的尺度上記錄下來，而不會(huì)被大多數(shù)人注意到以這種方式壓縮信息很容易，但不可逆

傅立葉分析已經(jīng)成為工程師和科學(xué)家的必備技術(shù)，但是對(duì)于某些用途來說，這種技術(shù)有一個(gè)重大的缺點(diǎn):正弦和余弦有無窮多項(xiàng)當(dāng)傅立葉方法試圖表示緊湊信號(hào)時(shí)，它遇到了問題它需要大量的正弦和余弦來模擬一個(gè)局部光點(diǎn)問題不在于得到光點(diǎn)的基本形狀，而在于使除光點(diǎn)以外的一切都等于零你要做的是增加更多高頻正弦和余弦信號(hào)，以消除不需要的信號(hào)因此，傅里葉變換對(duì)于光斑信號(hào)是無用的:變換后的信號(hào)比原始信號(hào)更復(fù)雜，需要更多的數(shù)據(jù)來描述

選擇正弦和余弦是因?yàn)樗鼈儩M足一個(gè)簡(jiǎn)單的條件形式上，這意味著它們是正交的將兩個(gè)基本正弦波相乘，并在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)其積分，可以衡量它們的相關(guān)程度如果這個(gè)數(shù)字很大，它們非常相似，如果為零，則它們是獨(dú)立的

傅立葉分析是有效的，因?yàn)樗幕静ㄐ渭日挥滞暾?，如果適當(dāng)疊加，它們可以表示任何信號(hào)實(shí)際上，它們?cè)谒行盘?hào)的空間中提供了一個(gè)坐標(biāo)系，就像普通空間中的三維坐標(biāo)系一樣的主要新特性是現(xiàn)在有無限的軸:每個(gè)基本波形有一個(gè)軸一旦習(xí)慣了，數(shù)學(xué)就沒問題了

不難發(fā)現(xiàn)，在無限維信號(hào)空間中存在一個(gè)不同于傅立葉的坐標(biāo)系整個(gè)領(lǐng)域最重要的發(fā)現(xiàn)之一是一種新的坐標(biāo)系，在這種坐標(biāo)系中，基本波形被限制在有限的空間區(qū)域內(nèi)它們被稱為小波，可以非常有效地表示光點(diǎn)，因?yàn)樗鼈兪枪恻c(diǎn)小波的光點(diǎn)特性使其特別適用于壓縮圖像它們最早的大規(guī)模實(shí)際應(yīng)用之一就是存儲(chǔ)指紋此外，小波在醫(yī)學(xué)成像中有許多應(yīng)用事實(shí)上，小波幾乎無處不在地球物理和電氣工程領(lǐng)域的研究人員已經(jīng)將這些技術(shù)應(yīng)用于他們自己的領(lǐng)域